已知点A.O为坐标原点.点P(x.y)满足$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y≤0}\\{x-\sqrt{3}y+2≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$.则满足条件点P所形成的平面区域的面积为$\sqrt{3}$.$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$方向上投影的最大值为$\sqrt{3}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知点A（3，$\sqrt{3}$），O为坐标原点，点P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y≤0}\\{x-\sqrt{3}y+2≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，则满足条件点P所形成的平面区域的面积为$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$方向上投影的最大值为$\sqrt{3}$．

分析首先画出可行域，利用三角形面积公式求面积；明确令$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$方向上投影为$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OA}|}=\frac{3x+\sqrt{3}y}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y$，利用其几何意义求最值．

解答解：由已知得到平面区域如图，P所在区域即为阴影部分，由$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y=0}\\{x-\sqrt{3}y+2=0}\end{array}\right.$得到C（-2，0）B（1，$\sqrt{3}$），所以其面积为$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
令$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$方向上投影为$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OA}|}=\frac{3x+\sqrt{3}y}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y$，所以y=$-\sqrt{3}x+2z$，过B时z最大，
所以，$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$方向上投影的最大值为$-\sqrt{3}+2\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
故答案为：$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$．

点评本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求得最值是关键．

练习册系列答案

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$-\frac{π}{3}$和$\frac{22π}{3}$

B．

$-\frac{7π}{9}$和$\frac{11π}{9}$

C．

$\frac{20π}{3}$和$\frac{22π}{9}$

D．

$\frac{π}{2}$和$-\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$

9．已知符号函数sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，（x＜0）}\\{0，（x=0）}\\{1，（x＞0）}\end{array}\right.$．
（1）sgn（2^x）=1；
（2）设a=$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}}$+$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{5}}\frac{1}{3}}$，b=3，则$\frac{a+b+（a-b）•sgn（a-b）}{2}$的值为3．

6．已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab（a≠0），当x∈（-3，2）时f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时f（x）＜0，若不等式ax²+bx+c≤0在[1，4]上恒成立，则c∈（　　）

A．

（-∞，-2]

B．

（-∞，-$\frac{25}{12}$]

13．直线$\sqrt{2}$ax+by=1与圆x²+y²=1相交于A，B两点（期中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），求点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值．

3．设（x-$\sqrt{2}$）ⁿ展开式中，第二项与第四项的系数之比为1：2，则展开式中第三项的二次项系数为6．

10．已知函数f（x）=sinx（cosx-sinx），则下列说法正确的为（　　）

	A．	函数f（x）的最小正周期为2π
	B．	f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{8}$
	C．	对称f（x）的最大值为$\sqrt{2}$
	D．	将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$，再向下平移$\frac{1}{2}$个单位长度后会得到一个奇函数的图象

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x，x＞0}\\{{a}^{x}+b，x≤0}\end{array}\right.$，且f（0）=2，f（-1）=3，则f（f（-3））=2．

8．已知函数f（x）满足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=2，则$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（3）}{f（2）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+$\frac{f（5）}{f（4）}$+…+$\frac{f（2014）}{f（2013）}$=4026．

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