Question

1．设F是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2$\overrightarrow{AF}$=-$\overrightarrow{FB}$，则双曲线C的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{14}}{3}$

Answer 1

分析 先由2$\overrightarrow{AF}$=-$\overrightarrow{FB}$，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．

解答 解：如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．所以FB⊥OA，又因为2$\overrightarrow{AF}$=-$\overrightarrow{FB}$，所以A为线段FB的中点，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，
∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．
故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=3，e²=4⇒e=2．
故选：B．

点评 本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．