Question

（文） 已知函数f（x）=

-3x+a

3x+1+b

（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3^x的x的 取值范围；
（2）若y=f（x）是定义域为R的奇函数，求y=f（x）的解析式；
（3）若y=f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．

Answer 1

考点：指数函数综合题,函数奇偶性的性质

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意知，

-3x+1

3x+1+1

≥3^x；从而解不等式；
（2）由题意知f（0）=

-1+a

3+b

=0，再由f（1）+f（-1）=0解出a．b；从而验证即可；
（3）由单调性的定义去证明．

解答： 解：（1）由题意知，

-3x+1

3x+1+1

≥3^x；
化简得，3（3^x）²+23^x-1≤0，
解得，-1≤3^x≤

1

3

；
故x≤-1；
（2）由题意，f（0）=

-1+a

3+b

=0，
故a=1；
再由f（1）+f（-1）=0得，b=3；
经验证f（x）=

1-3x

3(3x+1)

是奇函数，
（3）证明：∵y=f（x）的定义域为R，∴b≥0；
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（3a+b）

3x2-3x1

(3x1+1+b)(3x2+1+b)

，

∵x₁＜x₂，∴

3x2-3x1

(3x1+1+b)(3x2+1+b)

＞0；
故当3a+b＞0时，f（x）在R上单调递减，
当3a+b＜0时，f（x）在R上单调递增，
当3a+b=0时，f（x）在R上不具有单调性．

点评：本题考查了函数的性质应用及证明，属于基础题．