Question

已知f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x+a，当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，f（x）的最小值为-3，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：利用两角和与差的正弦及三角恒等变换的应用，可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，x∈[-

π

4

，

π

4

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，2sin（2x+

π

6

）∈[-

3

，2]，依题意，可得a+1-

3

=-3，从而可求得a的值．

解答： 解：f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x+a
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1+cos2x+a
=

3

sin2x+cos2x+a+1
=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
x∈[-

π

4

，

π

4

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，2sin（2x+

π

6

）∈[-

3

，2]，
所以，[2sin（2x+

π

6

）+a+1]∈[a+1-

3

，3+a]，
因为当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，f（x）的最小值为-3，
所以a+1-

3

=-3，
解得：a=

3

-4．

点评：本题考查两角和与差的正弦，考查三角恒等变换的应用，着重考查正弦函数闭区间上的最值，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．