Question

8．设O为△ABC的外心，且5$\overrightarrow{OA}+12\overrightarrow{OB}+13\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，则△ABC的内角C的值为（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 设出外接圆的半径，由5$\overrightarrow{OA}+12\overrightarrow{OB}+13\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，移项得$5\overrightarrow{OA}+12\overrightarrow{OB}=-13\overrightarrow{OC}$，再平方得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，从而得到∠AOB，最后根据圆心角等于同弧所对的圆周角的两倍得△ABC中的内角C值．

解答 解：设外接圆的半径为R，
∵5$\overrightarrow{OA}+12\overrightarrow{OB}+13\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，
∴移项得$5\overrightarrow{OA}+12\overrightarrow{OB}=-13\overrightarrow{OC}$，
∴（$5\overrightarrow{OA}+12\overrightarrow{OB}$）²=（-13$\overrightarrow{OC}$）²，
∴169R²+120$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=169R²，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，∴∠AOB=$\frac{π}{2}$，
∵根据圆心角等于同弧所对的圆周角的关系如图：
所以△ABC中的内角C值为$\frac{π}{4}$．
故选：C．

点评 本小题主要考查三角形外心的应用、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．