Question

18．已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最小正周期；
（2）根据正弦函数的单调性，求出f（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=$\frac{1-cos2x}{2}$+sin2x+3•$\frac{1+cos2x}{2}$
=sin2x+cos2x+2
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，
∴函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
∴kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的问题，是基础题．