Question

如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，PB=PD=2

2

，点E在PD上，且PE=

1

3

PD．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC上存在点F，使PF∥平面EAC，并求BF的长．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的性质,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出PA⊥AB，PA⊥AD，由此能证明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AC-D的余弦值．
（Ⅲ）假设存在点F∈BC，使PF∥平面EAC，利用向量法能求出存在点F（2，1，0）为BC的中点，即BF=1．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA=AB=2，PB=2

2

，
∴PA²+AB²=PB²，
∴PA⊥AB，同理PA⊥AD，（2分）
又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD．（4分）
（Ⅱ）解：以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，

2

3

，

4

3

），（6分）
平面ACD的法向量为

AP

=（0，0，2），
设平面EAC的法向量为

n

=（x，y，z），（7分）
∵

AC

=（2，2，0），

AE

=（0，

2

3

，

4

3

），
∴

n • AC =2x+2y=0 n • AE = 2 3 y+ 4 3 z=0

，
取x=2，得

n

=（2，-2，1），（8分）
设二面角E-AC-D的平面角为θ，
则cosθ=cos＜

n

，

AP

＞=

2

2× 9

=

1

3

，
∴二面角E-AC-D的余弦值为

1

3

．（10分）
（Ⅲ）证明：假设存在点F∈BC，使PF∥平面EAC，
令F（2，a，0），（0≤a≤2），（12分）
∴

PF

=（2，a，-2），由PF∥平面EAC，
∴

PF

•

n

=0，解得a=1，
∴存在点F（2，1，0）为BC的中点，即BF=1．（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查点是否存在的判断，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．