Question

已知函数f（x）=1-

2

5x+1

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若af（x）≥1对x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f(x)+f(-x)=1-

2

5x+1

+1-

2

5-x+1

=0可知，f（x）为奇函数．
（2）将不等式af（x）≥1化简为a≥

5x+1

5x-1

=1+

2

5x-1

．根据函数f（x）的单调性求出函数f（x）在∈[1，+∞）上的最大值，即可得到a的取值范围．

解答： 解：（1）函数为奇函数，
原因如下：
∵f(x)+f(-x)=1-

2

5x+1

+1-

2

5-x+1

=2-

2

5x+1

+

2×5x

1+5x

=0
∴f（-x）=-f（x）恒成立，
∴f（x）为奇函数．
（2）∵af（x）≥1对x∈[1，+∞）恒成立，
即a(1-

2

5x+1

)≥1对x∈[1，+∞）恒成立．
∴a≥

5x+1

5x-1

=1+

2

5x-1

．
又∵f（x）=1+

2

5x+1

在x∈[1，+∞）上位单调递减函数．
∴a≥f（1）=

3

2

．
∴a的取值范围是[

3

2

，+∞）．

点评：本题考查函数奇偶性的判定以，分离常数法求函数最值以及恒成立问题的处理技巧，属于中档题．