Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a_n＞0，且S_n=

an2+an

2

（n∈N^*）
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=

1

Sn

，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出a_n²-a_n-a_n-1²+a_n-1=0，从则得到（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由此能证明{a_n}是首项为1公差为1的等差数列．
（Ⅱ）由{a_n}是首项为1公差为1的等差数列，得S_n=

n(n+1)

2

，b_n=

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=

an2+an

2

（n∈N^*），
∴2S_n=a_n+a_n²，
当n≥2时，有a_n=S_n-S_n-1=

an2+an

2

-

an-12+an-1

2

，
化简得到：a_n²-a_n-a_n-1²+a_n-1=0，
∴（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-1=0，
∴a_n=a_n-1+1，
又a1=S1=

a12+a1

2

，解得a₁=1，
∴{a_n}是首项为1公差为1的等差数列．
（Ⅱ）∵{a_n}是首项为1公差为1的等差数列，
∴S_n=

n(n+1)

2

，b_n=

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
设数列{b_n}的前n项和为T_n，
则T_n=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．