Question

已知函数f（x）=lnx-ax²+2bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）试问函数f（x）图象上是否存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₂＞x₁，使得函数f（x）在x=

x1+x2

2

的切线与直线AB平行？若存在，求出A，B的坐标，不存在说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的定义域和导数，根据f′（x）＞0，即可求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求出函数的导数，利用导数的几何意义，以及直线平行的性质，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′(x)=

1

x

-2ax+2b，
又f′（1）=0，∴有2b=2a-1，
∴f′(x)=

1

x

-2ax+2a-1=-(x-1)(2a+

1

x

)，
又a＞0，x＞0，∴f′（x）＞0有0＜x＜1，
即f（x）的单调递增区间为（0，1）．
（2）根据条件y1=lnx1-a

x

2 1

+(2a-1)x1，y₂=lnx₂-ax22+（2a-1）x₂，
即kAB=

y1-y2

x1-x2

=

lnx1-lnx2

x1-x2

-a(x1+x2)+(2a-1)，
而f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

-a(x1+x2)+(2a-1)=kAB，
则整理可得

lnx1-lnx2

x1-x2

=

2

x1+x2

，
即有ln

x1

x2

=

2( x1 x2 -1)

( x1 x2 +1)

，
令

x1

x2

=t(0＜t＜1)，即lnt+

4

t+1

-2=0，
令g(t)=lnt+

4

t+1

-2(0＜t≤1)，则g′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

≥0，
则函数g（t）在（0，1]上单增，而g（1）=0，
∴在（0，1）内，g（t）＜0，
即lnt+

4

t+1

-2=0在（0，1）内无解，
故不存在．

点评：本题主要考查函数单调性的判断，利用导数的应用是解决本题的关键．考查学生的运算能力．