Question

20．某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台注册，并购买至少1万元的12月定期，邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的1%，且每邀请一位最高现金奖励为300元，红包奖励为每邀请一位奖励50元．假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如表：

理财金额	1万元	2万元	3万元
乙理财相应金额的概率	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
丙理财相应金额的概率	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

（1）求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率；
（2）若甲获得奖励为X元，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据古典概型的概率公式，计算乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率值；
（2）根据X的所有可能取值，计算对应的概率值，
写出随机变量X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）设乙、丙理财金额分别为ξ万元、η万元，
则乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率为
P（ξ+η≥5）=P（ξ=2）P（η=3）+P（ξ=3）P（η=2）+P（ξ=3）P（η=2）
=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{9}$；---------（4分）
（2）X的所有可能的取值为300，400，500，600，700；
P（X=300）=P（ξ=1）P（η=1）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=400）=P（ξ=1）P（η=2）+P（ξ=2）P（η=1）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{18}$，
P（X=500）=P（ξ=1）P（η=3）+P（ξ=3）•P（η=1）+P（ξ=2）P（η=2）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=600）=P（ξ=2）P（η=3）+P（ξ=3）P（η=2）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=700）=P（ξ=3）P（η=3）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{18}$，
所以X的分布列为

X	300	400	500	600	700
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{18}$

（10分）
数学期望为E（X）=300×$\frac{1}{6}$+400×$\frac{5}{18}$+500×$\frac{1}{3}$+600×$\frac{1}{6}$+700×$\frac{1}{18}$=$\frac{1400}{3}$．----------------（12分）

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．