Question

10．在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点P是△ABC内一点（含边界），若$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，则|$\overrightarrow{AP}$|的最大值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{7}}{3}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{19}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{13}}{3}$

Answer 1

分析 以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算可得y=$\sqrt{3}$（x-2），当直线y=$\sqrt{3}$（x-2）与直线BC相交时，此时
此时|$\overrightarrow{AP}$|最大，问题得以解决

解答 解：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，
∵AB=3，AC=2，∠BAC=60°，
∴A（0，0），B（3，0），C（1，$\sqrt{3}$），
设点P为（x，y），0≤x≤2，0≤y≤$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，
∴（x，y）=$\frac{2}{3}$（3，0）+λ（1，$\sqrt{3}$）=（2+λ，$\sqrt{3}$λ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2+λ}\\{y=\sqrt{3}λ}\end{array}\right.$，
∴y=$\sqrt{3}$（x-2），①
直线BC的方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-3），②，
联立①②，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
此时|$\overrightarrow{AP}$|最大，
∴|AP|=$\sqrt{\frac{49}{9}+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查了向量在及几何中的应用，关键建立直角坐标系，考查了学生的数形结合的能力，属于中档题