Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x∈（-∞，0]}\\{{x}^{2}+2ax+1，x∈（0，+∞）}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）+2x-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（-∞，-3）．

Answer 1

分析 判断g（x）的单调性，求出g（x）的极值，根据零点个数列不等式组解出a的范围．

解答 解：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+2x-a，x≤0}\\{{x}^{2}+2（a+1）x+1-a，x＞0}\end{array}\right.$，
当x≤0时，g（x）单调递增，且g（x）≤g（0）=1-a，
当x＞0时，g（x）的对称轴为直线x=-a-1，
（1）当-a-1≤0即a≥-1时，g（x）在（0，2）上单调递增，
∴g（x）不可能有3个零点，
（2）当-a-1＞0即a＜-1时，g（x）在（0，-a-1）上单调递减，在（-a-1，+∞）上单调递增，
∴当x=-a-1时，g（x）取得极小值f（-a-1）=-a²-3a，
∵g（x）有3个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞0}\\{-{a}^{2}-3a＜0}\end{array}\right.$，解得a＜-3．
综上，a＜-3，
故答案为（-∞，-3）．

点评 本题考查了函数零点与函数单调性、极值的关系，函数单调性的判断，属于中档题．