Question

5．复数z的共轭复数为$\overline z$，若$\frac{1-i}{z•\overline z+i}$为纯虚数，则|z|=（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 设z=a+bi，则$\overrightarrow{z}$=a-bi，化简$\frac{1-i}{z•\overline z+i}$，再根据纯虚数的定义即可得到a²+b²=1

解答 解：设z=a+bi，则$\overrightarrow{z}$=a-bi，
∴z•$\overrightarrow{z}$=a²+b²，
∴$\frac{1-i}{z•\overline z+i}$=$\frac{1-i}{{a}^{2}+{b}^{2}+i}$=$\frac{（1-i）（{a}^{2}+{b}^{2}-i）}{{（a}^{2}+{b}^{2}）^{2}+1}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-1+（{a}^{2}+{b}^{2}+1）i}{（{a}^{2}+{b}^{2}）^{2}+1}$，
∵$\frac{1-i}{z•\overline z+i}$为纯虚数，
∴a²+b²=1，
∴|z|=1，
故选：D

点评 本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念．属于基础题．