Question

10．设点M，N是抛物线y=ax²（a＞0）上任意两点，点G（0，-1）满足$\overrightarrow{GN}$•$\overrightarrow{GM}$＞0，则a的取值范围是（$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 过G作抛物线的切线，只需令切线的夹角小于90°即可．

解答 解：过G点作抛物线的两条切线，设切线方程为y=kx-1，
切点坐标为A（x₀，y₀），B（-x₀，y₀），
则由导数的几何意义可知$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=a{{x}_{0}}^{2}}\\{{y}_{0}=k{x}_{0}-1}\\{2a{x}_{0}=k}\end{array}\right.$，解得k=±2$\sqrt{a}$．
∵$\overrightarrow{GN}$•$\overrightarrow{GM}$＞0恒成立，∴∠AOB＜90°，即∠AGO＜45°，
∴|k|＞tan45°=1，即2$\sqrt{a}$＞1，
解得a＞$\frac{1}{4}$．
故答案为（$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．