Question

8．已知公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₀=110，且a₁，a₂，a₄成等比数列
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足${b_n}=\frac{1}{{（{{a_n}-1}）（{{a_n}+1}）}}$，若数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过首项和公差表示出S₁₀，a₁，a₂，a₄，进而利用条件联立方程组，计算即可；
（Ⅱ）通过（I）的结论，利用裂项相消法即可求和．

解答 解析：（Ⅰ）由题意知：$\left\{{\begin{array}{l}{a_2^2={a_1}{a_4}}\\{{S_{10}}=110}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{{（{{a_1}+d}）}^2}={a_1}（{{a_1}+3d}）}\\{10{a_1}+45d=110}\end{array}}\right.$…..…（4分）
解得a₁=d=2，
故数列a_n=2n；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知${b_n}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，…..（8分）
则${T_n}=\frac{1}{2}[{（{\frac{1}{1}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）}]$…..（10分）
=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{n}{2n+1}$…（12分）

点评 本题考查数列的通项与求和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于基础题．