Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B为锐角，且sinB=

2 2

3

（1）求sin²

A+C

2

+cos2B的值；
（2）若b=2，求ac的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由B为锐角，及sinB的值，利用同角三角函数间基本关系求出cosB的值，原式利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简，将cosB的值代入计算即可求出值；
（2）利用余弦定理列出关系式，把b的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值即可．

解答： 解：（1）∵B为锐角，且sinB=

2 2

3

，
∴cosB=

1-sin2B

=

1

3

，
则原式=

1-cos(A+C)

2

+2cos²B-1=

1+cosB

2

+2cos²B-1=

1+ 1 3

2

+2×

1

9

-1=-

1

9

；
（2）由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

3

，即a²+c²-b²=

2

3

ac，
把b=2代入得：a²+c²=

2

3

ac+4，
又∵a²+c²≥2ac，
∴

2

3

ac+4≥2ac，即ac≤3（当且仅当a=c时取等号成立）
∴ac的最大值为3．

点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．