Question

已知向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），若存在不为零的实数k和角α，使向量

c

=

a

+（sinα-3）•

b

，

d

=-k

a

+（sinα）

b

，且

c

⊥

d

，试求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：平面向量及应用

分析：根据题意，先求出 

a

2，

b

2，

a

•

b

 的值，由

c

•

d

=0得到4k=（sinx-

3

2

）²-

9

4

，利用二次函数的性质求得4k的最值，即可得到实数k的值域．

解答： 解：

a

2=4，

b

2=1，

a

•

b

=0，
由题意得：

c

•

d

=-k

a

2+sinα

a

•

b

-k（sinα-3）

a

•

b

+sinα（sinα-3）

b

2
=-4k+0+0+sinα（sinα-3）=0，
∴4k=（sinα-

3

2

） 2-

9

4

，
当sinα=1时，4k有最小值为-2，
当sinx=-1时，4k有最大值为4，故k最小值为-

1

2

，K的最大值为1，
综上，实数k的取值范围为[-

1

2

，1]

点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，以及二次函数的最值的求法．