Question

5．过双曲线y=$\frac{k}{x}$（常数k＞0）上任意一点A作AE∥x轴交y轴于E，作AF∥y轴交x轴于F，得到矩形AEOF，设它的面积为S，则S=k，k是与点A位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），并证明你的推广．

Answer 1

分析 过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上任意一点A作渐近线bx±ay=0的平行线，交点分别为E，F，则四边形AEOF的面积为$\frac{1}{2}$ab，利用平行四边形的面积公式，即可得出结论．

解答 解：过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上任意一点A作渐近线bx±ay=0的平行线，交点分别为E，F，则四边形AEOF的面积为$\frac{1}{2}$ab
设A（m，n），则直线AE的方程为y-n=-$\frac{b}{a}$（x-m）与y=$\frac{b}{a}$x，可得E（$\frac{an+bm}{2b}$，$\frac{an+bm}{2a}$），
∴A到OE的距离为d=$\frac{|bm-an|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{|bm-an|}{c}$，
∴四边形AEOF的面积为$\frac{1}{2}\sqrt{（\frac{an+bm}{2b}）^{2}+（\frac{an+bm}{2a}）^{2}}$×$\frac{|bm-an|}{c}$=$\frac{1}{2}$ab．

点评 本题考查类比推理，考查学生的计算能力，属于中档题．