Question

19．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a₂=3，a₃=5且（2n+1）S_n+1-（2n+5）S_n=An+B，n∈N^*，其中A，B为常数．
（1）求A，B的值；
（2）证明：数列{a_n}为等差数列；
（3）数列{a_n}中是否存在两项a_m、a_k（m，k∈N^*），使得${a}_{k}^{4}$-2a_k+22=${a}_{m}^{2}$，如果存在，求出所有的k和m，如果存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程关系进行求解即可．
（2）根据递推关系，利用作差法多次进行作差结合等差数列的定义进行证明即可．
（3）假设存在两项a_m、a_k（m，k∈N^*），使得${a}_{k}^{4}$-2a_k+22=${a}_{m}^{2}$，建立方程关系，得到矛盾即可．

解答 解：（1）当n=1时，3S₂-7S₁=A+B，即3•（1+3）-7=A+B，即A+B=5，
当n=2时，5S₃-9S₂=2A+B，即5•（1+3+5）-9（1+3）=2A+B，即2A+B=5×9-9×4=45-36=9，
解得A=4，B=1．
（2）当A=4，B=1时，（2n+1）S_n+1-（2n+5）S_n=4n+1，
即2n（S_n+1-S_n）=-S_n+1+5S_n+4n+1，
即2na_n+1=-S_n+1+5S_n+4n+1，①
则2（n+1）a_n+2=-S_n+2+5S_n+1+4（n+1）+1，②
②-①得（2n+2）a_n+2-2na_n+1=-a_n+2+5a_n+1+4，
即（2n+3）a_n+2=（2n+5）a_n+1+4，③
则（2n+5）a_n+3=（2n+7）a_n+2+4  ④
④-③得（2n+5）a_n+3-（2n+3）a_n+2=（2n+7）a_n+2-（2n+5）a_n+1，
即（2n+5）a_n+3+（2n+5）a_n+1=（4n+10）a_n+2=2（2n+5）a_n+2，
即a_n+3+a_n+1=2a_n+2，
即且已知2a₂=a₁+a₃，
∴数列{a_n}为等差数列．
（3）∵数列{a_n}为等差数列，a₁=1，a₂=3，
∴公差d=3-1=2，
则a_n=1+2（n-1）=2n-1，
若存在两项a_m、a_k（m，k∈N^*），使得${a}_{k}^{4}$-2a_k+20=${a}_{m}^{2}$，
则（2k-1）⁴-2（2k-1）+20=（2m-1）²，
即4k⁴-8k³+6k²-3k+$\frac{11}{2}$=m²-m，
∵m，k∈N^*，∴m²-m是整数，4k⁴-8k³+6k²-3k是整数，
但4k⁴-8k³+6k²-3k+$\frac{11}{2}$不是整数，即方程4k⁴-8k³+6k²-3k+$\frac{11}{2}$=m²-m不成立，
即不存在两项a_m、a_k（m，k∈N^*），使得${a}_{k}^{4}$-2a_k+20=${a}_{m}^{2}$．

点评 本题主要考查递推数列的应用，结合等差数列的定义进行递推是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度较大．