Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．
（1）若函数f（x）的图象过点（-2，1），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-1，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）因为f（-2）=1，得b=2a．由方程f（x）=0有且只有一个根，即△=b²-4a=0，得a=1，b=2，故可求得f（x）=（x+1）²．
（2）先根据已知求得g（x）=(x-

k-2

2

)2+1-

(k-2)2

4

，故可由二次函数的图象和性质求得实数k的取值范围．

解答： 解：（1）因为f（-2）=1，即4a-2b+1=1，所以b=2a．
因为方程f（x）=0有且只有一个根，即△=b²-4a=0．
所以4a²-4a=0．即a=1，b=2．
所以f（x）=（x+1）²．
（2）因为g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²-（k-2）x+1
=(x-

k-2

2

)2+1-

(k-2)2

4

．
所以当 

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤-1时，即k≥6或k≤0时，g（x）是单调函数．

点评：本题主要考察了二次函数的性质，属于基础题．