题目内容
已知数列{an}的前n项和sn=an+n2-1，数列{bn}满足3n•bn+1=（n+1）an+1-nan，且b1=3
（1）求an，bn；
（2）设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn．
（1）求an，bn；
（2）设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn．
考点：数列的求和,数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）n≥2时，sn=an+n2-1，sn-1=an-1+(n-1)2-1．两式相减即可得出．代入3n•bn+1=（n+1）an+1-nan，即可得出bn．
（2）利用“错位相减法”即可得出．
（2）利用“错位相减法”即可得出．
解答：
解：（1）n≥2时，sn=an+n2-1，sn-1=an-1+(n-1)2-1．
两式相减得an=an-an-1+2n-1，
∴an-1=2n-1，
∴an=2n+1，
∴3n•bn+1=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3．
∴bn+1=
，
∴当n≥2时，bn=
，
又b1=3适合上式，
∴bn=
．
（2）由（1）知，bn=
，
∴Tn=
+
+
+…+
+
，①
Tn=
+
+
+…+
+
②
①-②得
Tn=3+
+
+…+
-
，
=3+4•
-
=5-
，
∴Tn=
-
．
两式相减得an=an-an-1+2n-1，
∴an-1=2n-1，
∴an=2n+1，
∴3n•bn+1=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3．
∴bn+1=
| 4n+3 |
| 3n |
∴当n≥2时，bn=
| 4n-1 |
| 3n-1 |
又b1=3适合上式，
∴bn=
| 4n-1 |
| 3n-1 |
（2）由（1）知，bn=
| 4n-1 |
| 3n-1 |
∴Tn=
| 3 |
| 1 |
| 7 |
| 3 |
| 11 |
| 32 |
| 4n-5 |
| 3n-2 |
| 4n-1 |
| 3n-1 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 7 |
| 32 |
| 11 |
| 33 |
| 4n-5 |
| 3n-1 |
| 4n-1 |
| 3n |
①-②得
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 32 |
| 4 |
| 3n-1 |
| 4n-1 |
| 3n |
=3+4•
| ||||
1-
|
| 4n-1 |
| 3n |
| 5+4n |
| 3n |
∴Tn=
| 15 |
| 2 |
| 4n+5 |
| 2•3n-1 |
点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的前n和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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| 1 |
| 2 |
A、[-
| ||||
B、[1-
| ||||
C、[-
| ||||
D、[-
|
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