Question

如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，在梯形ABCD中，AB∥CD，△ABD和△DBC分别是以DB和CD为斜边的等腰直角三角形，AD=1．
（Ⅰ）求证AF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线FC与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段CE上是否存在点M，使得DM∥平面FAB，如果存在，说明点M满足的条件，如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明AF⊥AD，利用平面ADEF和平面ABCD互相垂直，且相交于AD，即可证明AF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）确定FC和平面ABCD所成的角为∠FCA，即可求直线FC与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）证明平面DEC∥平面FAB，即可得出结论．

解答： （I）证明：∵ADEF是正方形，∴AF⊥AD
又∵平面ADEF和平面ABCD互相垂直，且相交于AD，AF?平面ADEF∴AF⊥平面ABCD．…（3分）
（II）解：由（1）得AF⊥平面ABCD，∴FC在平面ABCD上的射影是AC，
∴FC和平面ABCD所成的角为∠FCA…（5分）
∵AD⊥DC，∴在Rt△ADC中，AC=

AD2+DC2

=

12+22

=

5

，
又AF=1，∴在Rt△AFC中，FC=

6

，…（7分）
∴sin∠FCA=

FA

FC

=

6

6

…（8分）
（III）解：∵AF∥DE，AF?平面FAB，∴DE∥平面FAB  ①…（9分）
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面FAB，∴DC∥平面FAB  ②…（10分）
由①②及DE∩DC=D，得平面DEC∥平面FAB，…（11分）
又不论M在线段CE的何种位置，都有DM?平面EDC
所以不论M在线段CE的何种位置，都有DM∥平面FAB     …（13分）

点评：本题考查线面垂直，线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．