Question

已知二次函数f（x）满足：①当x=1时有极值，②图象与y轴交点的纵坐标为-3，且在该点处的切线与直线x=2y-4垂直
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（xlnx），x∈[1，2]的值域；
（Ⅲ）若曲线y=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一点处的切线的斜率恒大于a³-a-2，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的值域,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）设出函数的解析式，利用已知条件求出系数，得到解析式然后求f（1）的值；
（Ⅱ）求出函数g（x）=f（xlnx）的解析式，利用函数的导数判断函数在x∈[1，2]的单调性，然后求解值域；
（Ⅲ）求出曲线y=f（lnx），x∈（1，+∞）的导数，利用导函数恒大于a³-a-2，求出最值然后求解a的取值范围．

解答： 解：（I）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）f（o）=-3，∴c=-3，
∴f'（x）=2ax+b∴在x=1处有极值．
∴f'（1）=0，即2a+b=0
∵在点（0，-3）处的切线与直线x=2y-4垂直，
∴f'（0）=-2，即b=-2
故a=1
∴f（x）=x²-2x-3，
f（1）=-4
（II）∵f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴g（x）=（xlnx-1）²-4
令t=xlnx，∴当x∈[1，2]时，t'=1+lnx≥1＞0，
∴t=xlnx在x∈[1，2]上单调递增
∴0≤t≤2ln2∴当t=1时[g（x）]_min=-4，
当t=0时[g（x）]_max=-3，
∴g（x）的值域为[-4，-3]
（Ⅲ）f（lnx）=（lnx）²-2lnx-3，
令t=lnx∵x∈（1，+∞）∴t＞0
∴f（t）=t²-2t-3
∴f'（t）=2t-2，
∴t＞0，∴f'（t）＞-2，
由题意得a³-a-2＜f'（t）恒成立，∴a³-a-2≤-2
∴a（a+1）（a-1）≤0，
∴a的取值范围为a≤-1或0＜a≤1．

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的内，同时考查这思想．