Question

设函数f（x）=cosxcos（x-θ）-

1

2

cosθ，θ∈（0，π），已知当x=

π

3

取得最大值为

1

2

．
（1）求θ的值；
（2）设g（x）=2f（

3

2

x），求g（x）在[0，

π

3

]上的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简函数解析式，由余弦函数的图象和性质可得cos（

2π

3

-θ）=1，从而确定θ的值；
（2）先求g（x）的函数解析式，根据自变量的取值范围即可求出g（x）在[0，

π

3

]上的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=cosxcos（x-θ）-

1

2

cosθ
=cosx（cosxcosθ+sinxsinθ）-

1

2

cosθ
=

1+cos2x

2

•cosθ+

1

2

sin2xsinθ-

1

2

cosθ
=

1

2

cos（2x-θ）…2分
由f（x）_max=f（

π

3

）=

1

2

，可得cos（

2π

3

-θ）=1
∵θ∈（0，π），
∴θ=

2π

3

…6分
（2）由（1）知f（x）=

1

2

cos（2x-

2π

3

）
则g（x）=2f（

3x

2

）=cos（3x-

2π

3

）…8分
∵x∈[0，

π

3

]，
∴-

2π

3

≤3x-

2π

3

≤

π

3

…10分
∴当3x-

2π

3

=-

2π

3

即x=0，g（x）_min=-

1

2

…12分

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．