Question

设x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+2mx+m²-1=0的两个实根，又f（m）=x₁²+x₂²．
（1）求函数f（m）的解析式；
（2）当m∈[-1，2）时，求此函数的值域．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由 x²+2mx+m²-1=（x+m+1）（x+m-1）=0，可得x₁=-m-1，x₂=1-m，求得 f（m）=2m²+2．
（2）当m∈[-1，2）时，f（m）=2m²+2，利用二次函数的性质求得f（m）的值域．

解答： 解：（1）∵x²+2mx+m²-1=（x+m+1）（x+m-1）=0，故一元二次方程x²+2mx+m²-1=0的两个实根为-m-1、1-m，
即x₁=-m-1，x₂=1-m，
∴f（m）=x₁²+x₂² =（-m-1）²+（-m+1）²=2m²+2．
（2）当m∈[-1，2）时，f（m）=2m²+2，故当m=0时，f（m）取得最小值为2；
当m趋于2时，f（m）趋于10，故f（m）的值域为[2，10）．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．