题目内容
5．下表提供了某工厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．| x | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 2.5 | 3 | 3.6 | 4.5 |
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．
分析 （1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．
（2）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程．
（3）根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，即可估计生产100吨甲产品的生产能耗．
解答 解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．
（2）由对照数据，计算得：
$\sum _{i=1}^{4}$xi2=86，$\sum _{i=1}^{4}$xiyi=66.5，$\overline{x}$=4.5，$\overline{y}$=3.5，
∴回归方程的系数为$\hat{b}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4×{4.5}^{2}}$=0.7，$\hat{a}$=0.35，
∴所求线性回归方程为$\hat{y}$=0.7x+0.35
（3）由（2）求出的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨），
∴估计生产100吨甲产品的生产能耗为70.35吨．
由90-70.35=19.65（吨），
∴估计生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨标准煤．
点评 本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．
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