Question

6．已知函数$f（x）{=_{\;}}|{2^{x-2}}-2|$（x∈R）．
（1）解不等式f（x）＜2；
（2）数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），S_n为{a_n}的前n项和，对任意的n≥4，不等式${S_n}+\frac{1}{2}≥k{a_n}$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）$f（x）{=_{\;}}|{2^{x-2}}-2|$＜2，从而可得0＜2^x-2＜4，从而解得；
（2）易知${a_n}=|{{2^{n-2}}-2}|$；从而货物S_n=（2-2^-1）+（2-2⁰）+（2¹-2）+（2²-2）+…+（2^n-2-2）=$\frac{5}{2}+\frac{{2（{2^{n-2}}-1）}}{2-1}-2（n-2）$，从而可得$k≤\frac{{{2^{n-1}}+5-2n}}{{{2^{n-2}}-2}}$，从而$令{y_n}=f（n）=\frac{{{2^{n-1}}+5-2n}}{{{2^{n-2}}-2}}=\frac{{2（{2^{n-2}}-2）+9-2n}}{{{2^{n-2}}-2}}$从而化为最值问题即可．

解答 解：（1）$f（x）{=_{\;}}|{2^{x-2}}-2|$＜2，
即-2＜2^x-2-2＜2，
即0＜2^x-2＜4，
故x＜4；
（2）${a_n}=|{{2^{n-2}}-2}|$；
n≥4时，S_n=a₁+a₂+…+a_n
=（2-2^-1）+（2-2⁰）+（2¹-2）+（2²-2）+…+（2^n-2-2）
=$\frac{5}{2}+\frac{{2（{2^{n-2}}-1）}}{2-1}-2（n-2）$
=$\frac{9}{2}+{2^{n-1}}-2n$${S_n}+\frac{1}{2}=5+{2^{n-1}}-2n$；
∵${S_n}+\frac{1}{2}≥k{a_n}$，
∴$k≤\frac{{{2^{n-1}}+5-2n}}{{{2^{n-2}}-2}}$，
$令{y_n}=f（n）=\frac{{{2^{n-1}}+5-2n}}{{{2^{n-2}}-2}}=\frac{{2（{2^{n-2}}-2）+9-2n}}{{{2^{n-2}}-2}}$
=$2+\frac{9-2n}{{{2^{n-2}}-2}}$$f（n+1）-f（n）=\frac{9-2（n+1）}{{{2^{n-1}}-2}}-\frac{9-2n}{{{2^{n-2}}-2}}$
=$\frac{{（7-2n）（{2^{n-2}}-2）-（9-2n）（{2^{n-1}}-2）}}{{（{2^{n-1}}-2）（{2^{n-2}}-2）}}$
=$\frac{{（2n-11）•{2^{n-2}}+4}}{{（{2^{n-1}}-2）（{2^{n-2}}-2）}}$，
故当n≥6，f（n+1）-f（n）＞0，
即f（6）＜f（7）＜f（8）＜…＜f（n），（n≥6）；
又∵$f（4）=\frac{5}{2}＞f（5）=\frac{11}{6}＞f（6）=\frac{25}{14}$，
∴f_min（n）=f（6）=$\frac{25}{14}$，
故k≤$\frac{25}{14}$．

点评 本题考查了数列与函数的综合应用及恒成立问题化为最值问题的应用，同时考查了学生的化简运算的能力．