Question

已知函数f（x）=|x-a|+|x-1|，a∈R．
（1）当a=3时，解不等式f（x）≤4；
（2）当x∈（-2，1）时，f（x）＞|2x-a-1|，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当a=3时，f(x)=

4-2x，x＜1 2，1≤x≤3 2x-4，x＞3

，分类讨论求得它的解集．
（2）因为f（x）=|x-a|+|x-1|≥|x-a+x-1|=|2x-a-1|，分类讨论求得不等式（x-1）（x-a）＜0的解集为A，再根据（-2，1）⊆A，求得a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=3时，f(x)=

4-2x，x＜1 2，1≤x≤3 2x-4，x＞3

，
当x＜1时，由f（x）≤4得4-2x≤4，解得0≤x＜1；
当1≤x≤3时，f（x）≤4恒成立；
当x＞3时，由f（x）≤4得2x-4≤4，解得3＜x≤4，
所以不等式f（x）≤4的解集为{x|0≤x≤4}． 
（2）因为f（x）=|x-a|+|x-1|≥|x-a+x-1|=|2x-a-1|，
当（x-1）（x-a）≥0时，f（x）=|2x-a-1|；
当（x-1）（x-a）＜0时，f（x）＞|2x-a-1|．…（7分）
记不等式（x-1）（x-a）＜0的解集为A，则（-2，1）⊆A，
故a≤-2，所以a的取值范围是（-∞，-2]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．