Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，AS⊥平面ABCD，AS=1，AB=

2

，E 为AC与BD的交点，F为ES的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面BDS；
（Ⅱ）求二面角C-BS-D的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）分别以AD、AB、AS为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥平面BDS．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

AF

=（

2

4

，

2

4

，

1

2

）是平面BDS的法向量，求出平面BCS的法向量，利用向量法能求出二面角C-BS-D的大小．

解答： （Ⅰ）证明：分别以AD、AB、AS为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，

2

，0），C（

2

，

2

，0），
D（

2

，0，0），S（0，0，1），F（

2

4

，

2

4

，

1

2

），
∴

AF

=（

2

4

，

2

4

，

1

2

），

BS

=(0，-

2

，1)，

DS

=(-

2

，0，1)，
∵

AF

•

BS

=0，

AF

•

DS

=0，∴AF⊥BS，AF⊥DS，
又BS∩DS=S，∴AF⊥平面BDS．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得

AF

=（

2

4

，

2

4

，

1

2

）是平面BDS的法向量，
设平面BCS的法向量

n

=（x，y，z），
∵

BC

=(

2

，0，0)，

BS

=(0，-

2

，1)，
∴

n • BC = 2 x=0 n • BS =- 2 y+z=0

，取y=1，得

n

=（0，1，

2

），
cos＜

n

，

AF

＞=

n • AF

| n |•| AF |

=

3

2

，
∴二面角C-BS-D的大小为30°．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．