Question

已知函数f（x）=

2x+m

2x-1

为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）用定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为单调减函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）运用奇函数的定义，化简计算即可得到m=1；
（2）运用定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤．

解答： （1）解：由于f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
即有

2-x+m

2-x-1

=-

2x+m

2x-1

，
即

1+m•2x

1-2x

=

m+2x

1-2x

，即有1+m•2^x=m+2^x，
解得m=1；
（2）证明：由f（x）=

2x+1

2x-1

，
设0＜m＜n，则f（m）-f（n）=

2m+1

2m-1

-

2n+1

2n-1

=

2(2n-2m)

(2m-1)(2n-1)

，
由于0＜m＜n，则2^m＜2ⁿ，即2ⁿ-2^m＞0，2^m＞1，2ⁿ＞1，
则有f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n）．
则f（x）在区间（0，+∞）上为单调减函数．

点评：本题考查函数的奇偶性的运用，考查函数的单调性的证明，考查运算能力，属于基础题．