Question

12．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数．给出下列函数：①f（x）=0；②f（x）=2x；③f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx）； ④f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；你认为上述四个函数中，哪几个是F函数，请说明理由．

Answer 1

分析 对于①，②，由定义得都是F函数；对于③，当x=0时，不可能有|f（0）|≤m|0|=0，故f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx） 不是F函数；对于④，要使|f（x）|≤m|x|成立，必须m≥$\frac{4}{3}$，当m≥$\frac{4}{3}$时，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$是F函数．

解答 解：对于①，m是任意正数时都有0≤m|x|，f（x）=0是F函数；
对于②，m≥2时，都有|2x|≤m|x|，f（x）=2x是F函数；
对于③，当x=0时，|f（0）|=$\sqrt{2}$，不可能有|f（0）|≤m|0|=0
故f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx） 不是F函数；
对于④，要使|f（x）|≤m|x|成立，即|$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$|≤m|x|，
当x=0时，m可取任意正数；当x≠0时，只须m≥$\frac{1}{|{x}^{2}+x+1|}$的最大值；
因为x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$$≥\frac{3}{4}$，所以m≥$\frac{4}{3}$，
因此，当m≥$\frac{4}{3}$时，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$是F函数．

点评 本题考查F函数的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．