Question

已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的最小正周期为π，且其图象经过点（

π

3

，0）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（

x

2

+

π

12

），α，β∈（0，π），且g（α）=1，g（β）=

3 2

4

，求g（α-β）的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）依题意，易求ω=2；又函数f（x）的图象经过点(

π

3

，0)，可得φ=kπ-

2π

3

，k∈Z．结合0＜φ＜

π

2

可得φ=

π

3

，从而可得函数f（x）的解析式；
（2）依题意可求得g（x）=3cosx，由g（β）=3cosβ=

3 2

4

，可求得cosβ=

2

4

，而α，β∈（0，π），可求得sinα=

2 2

3

，sinβ=

14

4

，利用两角差的余弦即可求得g（α-β）的值．

解答： 解：（1）因为函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，所以

2π

ω

=π，解得ω=2．
所以f（x）=3sin（2x+φ）．
因为函数f（x）的图象经过点(

π

3

，0)，所以3sin(2×

π

3

+φ)=0，
得

2π

3

+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ-

2π

3

，k∈Z．
由0＜φ＜

π

2

，得φ=

π

3

．
所以函数f（x）的解析式为f（x）=3sin(2x+

π

3

)．
（2）依题意有g（x）=3sin[2×(

x

2

+

π

12

)+

π

3

]=3sin（x+

π

2

）=3cosx．
由g（α）=3cosα=1，得cosα=

1

3

，
由g（β）=3cosβ=

3 2

4

，得cosβ=

2

4

．
因为α，β∈（0，π），所以sinα=

2 2

3

，sinβ=

14

4

．
所以g（α-β）=3cos（α-β）=3（cosαcosβ+sinαsinβ）
=3×（

1

3

×

2

4

+

2 2

3

×

14

4

）=

2 +4 7

4

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，突出考查同角三角函数间的关系、诱导公式与两角差的余弦的综合应用，属于中档题．