Question

已知函数f（x）=（mx+n）e^-x（m，n∈R，e为自然数）
①若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey-3=0，试确定函数f（x）的单调区间．
②当n=-1，m∈R时，若对于任意x∈[

1

2

，1]都有f（x）≥x恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：①利用导数的几何意义，求出函数的解析式，再利用导数的正负，即可确定函数f（x）的单调区间．
②对于任意x∈[

1

2

，1]都有f（x）≥x恒成立，等价于m≥ex+

1

x

对于任意x∈[

1

2

，1]恒成立，求出函数的最大值，即可求实数m的最小值．

解答： 解：①f(x)=(mx+n)e-x，f′(x)=

-mx+m-n

ex

∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey-3=0，
∴f(1)=

2

e

，f′(1)=-

1

e

，
∴

-m+m-n e =- 1 e (m+n)e-1= 2 e

，∴

m=1 n=1

，
∴f（x）=（x+1）e^-x，
∴f′(x)=-

x

ex

＞0?x＜0，f′(x)＜0?x＞0
∴f（x）的单调增区间为（-∞，0），单调减区间为（0，+∞）
②∵n=-1，m∈R，∴f(x)≥x?

mx-1

ex

≥x
对于任意x∈[

1

2

，1]都有f（x）≥x恒成立，等价于m≥ex+

1

x

对于任意x∈[

1

2

，1]恒成立
记g(x)=ex+

1

x

，则g′(x)=ex-

1

x2

设h(x)=ex-

1

x2

，h′(x)=ex+

2

x3

＞0对x∈[

1

2

，1]恒成立
∴h（x）=ex-

1

x2

在[

1

2

，1]上单调递增，
又h(

1

2

)=

e

-4＜0，h(1)=e-1＞0，
∴g′(x)=ex-

1

x2

在[

1

2

，1]上有唯一零点x0，
∴x∈(

1

2

，x0)时，g′（x）＜0，x∈（x₀，1）时，g′（x）＞0，
∴g（x）的最大值是g（

1

2

）与g（1）中的较大的一个，
∵g（

1

2

）=

e

+2＜g（1）=e+1，
∴m≥e+1，
∴实数m的最小值为e+1．

点评：本题考查的知识点是导数的几何意义，函数的单调性，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．