Question

设a_n=3ⁿ，求证：

1-( 1 3 )n

2

＜

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：

1

an-1

=

1

3n-1

＞

1

3n

，

1

an-1

=

1

3n-1

＜

1

2n

，利用放缩法即可得证．

解答： 证明：∵a_n=3ⁿ，
∴

1

an-1

=

1

3n-1

＞

1

3n

，
∴

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＞

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1-( 1 3 )n

2

，
又∵

1

an-1

=

1

3n-1

＜

1

2n

，
∴

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1，
∴

1-( 1 3 )n

2

＜

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜1．

点评：本题主要考查利用放缩法证明不等式问题，放缩后利用等比数列求和公式计算，考查学生的逻辑思维能力及运算求解能力，属于难题．