Question

△ABC中，角A，B满足tan（A+B）=3tanA，则tanB取到最大值时角C=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：通过tanB=tan[（A+B）-A]利用公式展开，把tan（A+B）=2tanA代入，整理后利用基本不等式求得tanB的最大值，进而根据等号成立的条件求得tanB的值，即可得出结果．

解答： 解：∵3tanA=tan（A+B），A为锐角，
∴tanB=tan（A+B-A）=

tan(A+B)-tanA

1+tan(A+B)•tanA

=

2tanA

1+3tan2A

=

2

1 tanA +3tanA

，∵A为锐角，
∴tanA＞0

1

tanA

+3tanA ≥2

3

当且仅当

1

tanA

=3tanA 时取“=”号，即tanA=

3

3

，
∴0＜tanB≤

3

3

∴tanB最大值是：

3

3

，此时B=A=

π

6

，所以C=

2π

3

．
故答案为：

2π

3

．

点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数和运用基本不等式求最值的问题．考查了学生对基础知识的综合运用和基本的运算能力．