Question

求证：1-ln2＜（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）-lnn≤1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式

分析：根据数列的性质，记a_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-lnn，求证出a_n＞1-ln2，再根据定积分的性质，求证出（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）-lnn≤1．问题得以证明

解答： 解：记a_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-lnn，则a_n+1-a_n=ln（1-

1

n+1

）-

1

n+1

∴a_n+1＜a₁=1，
又∵lnn=ln（1+

1

n+1

）+ln（

1

n-2

）+…+ln2＜

1

n-1

+

1

n+2

+

1

2

+ln2，
∴a_n＞=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-（

1

n-1

+

1

n+2

+

1

2

+ln2）=1+

1

n

-ln2＞1-ln2，
∴1-ln2＜（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）-lnn
令 f（x）=

1

x

，则 f（x） 在区间[n，n+1]上的最大值为f（n）=

1

n

，最小值为f（n+1）=

1

n+1

，
由定积分性质，得

1

n+1

＜

∫

n+1 n

f（x）dx＜

1

n

，
即

1

n+1

＜ln（n+1）-lnn＜

1

n

，
所以

1

2

＜ln 2＜1，

1

3

＜ln3-ln2＜

1

2

，
…

1

n+1

＜ln（n+1）-lnn＜

1

n

，
所以

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜ln （n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
同理，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜lnn，
而当n=1时，不等式的等号成立
所以 1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≤1+lnn，
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-lnn≤1，
综上所述，1-ln2＜（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）-lnn≤1．

点评：本题考查了数列和不等式的关系，以及函数和不等式的关系，考查了学生的转化能力，知识的应用能力，属于难题