Question

9．已知f（x）=$\frac{a+ln（2x+1）}{2x+1}$．
（Ⅰ）若曲线f（x）在x=0处的切线与直线x-2y-2016=0垂直，求y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若关于t的方程（2x+1）²f′（x）=t³-12t在x$∈[\frac{e-1}{2}，\frac{{e}^{2}-1}{2}]$时恒有3个不同的实数根，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求得在x=0处切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得a，再由导数求得单调区间，即可得到所求的极值；
（Ⅱ）方程（2x+1）²f′（x）=t³-12t，即为2-2a-2ln（1+2x）=t³-12t，由x的范围求得左边的范围，再由导数求得右边函数的极值，可得-16＜-2-2a＜-2a＜16，解不等式可得所求范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{a+ln（2x+1）}{2x+1}$的导数为
f′（x）=$\frac{2-2a-2ln（1+2x）}{（1+2x）^{2}}$，
即有f（x）在x=0处的切线斜率为2-2a，
由切线与直线x-2y-2016=0垂直，可得
2-2a=-2，解得a=2，
即有f（x）=$\frac{2+ln（1+2x）}{2x+1}$，f′（x）=$\frac{-2-2ln（1+2x）}{（1+2x）^{2}}$，
当-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2e}$-$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞$\frac{1}{2e}$-$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=$\frac{1}{2e}$-$\frac{1}{2}$处取得极大值，且为e；
（Ⅱ）方程（2x+1）²f′（x）=t³-12t，即为2-2a-2ln（1+2x）=t³-12t，
由x$∈[\frac{e-1}{2}，\frac{{e}^{2}-1}{2}]$时，可得2-2a-2ln（1+2x）∈[-2-2a，-2a]，
由t³-12t的导数为3t²-12=3（t+2）（t-2），
可得-2＜t＜2时，t³-12t递减；t＞2或t＜-2时，t³-12t递增．
即有t=-2处取得极大值，且为16；t=2处取得极小值，且为-16．
关于t的方程（2x+1）²f′（x）=t³-12t在x$∈[\frac{e-1}{2}，\frac{{e}^{2}-1}{2}]$时恒有3个不同的实数根．
即为2-2a-2ln（1+2x）=t³-12t在t∈R有三个实根，
即有y=t³-12t与y=2-2a-2ln（1+2x）有三个零点．
由题意可得-16＜-2-2a＜-2a＜16，
解得-8＜a＜7．
则a的取值范围是（-8，7）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，考查运算能力，属于中档题．