Question

10．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤0}\\{lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$，若函数y=f[f（x）]-m存在三个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [0，1]
• B． （0，1]
• C． （-∞，0]
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 作f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤0}\\{lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$的图象，从而可得m≤1，从而化为f（x）+1-m=0或log₂f（x）=m，从而解得．

解答 解：作f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤0}\\{lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$的图象如下，
，
结合图象可知，当m＞1时，f（x）=m有一个解，
当m≤1时，f（x）=m有两个解；
∵函数y=f[f（x）]-m存在三个零点，
∴m≤1，此时f[f（x）]-m=0可化为f（x）+1-m=0或log₂f（x）=m；
∴f（x）=m-1或f（x）=2^m，
∵m-1≤0，∴f（x）=m-1有两个解，
∴f（x）=2^m只有一个解，
∴2^m＞1，故m＞0；
综上所述，0＜m≤1．
故选：B．

点评 本题考查了分段函数与复合函数的综合应用及数形结合的思想应用．