Question

17．若函数f（x）=2^|x-a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1-x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．

Answer 1

分析 先由f（1+x）=f（1-x）得到f（x）的图象关于直线x=1轴对称，进而求得a=1，再根据题中所给单调区间，求出m≥1．

解答 解：因为f（1+x）=f（1-x），
所以，f（x）的图象关于直线x=1轴对称，
而f（x）=2^|x-a|，所以f（x）的图象关于直线x=a轴对称，
因此，a=1，f（x）=2^|x-1|，
且该函数在（-∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，
所以，m≥1，即实数m的最小值为1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查了指数型复合函数的图象与性质，涉及该函数图象的对称性和单调区间，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．