Question

6．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的一个面A₁B₁C₁D₁在半径为$\sqrt{3}$的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，连接A₁C₁，B₁D₁，相交于点O．则点O为球心，OA=$\sqrt{3}$．设正方体的边长为x，则A₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．在Rt△OAA₁中，由勾股定理解出x，即可得出．

解答 解：如图所示，
连接A₁C₁，B₁D₁，相交于点O．
则点O为球心，OA=$\sqrt{3}$．
设正方体的边长为x，则A₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
在Rt△OAA₁中，由勾股定理可得：$（\frac{\sqrt{2}}{2}x）^{2}$+x²=$（\sqrt{3}）^{2}$，
解得x=$\sqrt{2}$．
∴正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V=$（\sqrt{2}）^{3}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方体的性质与体积、球的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．