Question

已知数列{a_n}满足S_n+a_n=2n+1（nN^*），
（1）写出a₁，a₂，a₃，并求a_n的表达式；
（2）求证：

2-a1

a1-1

+

2-a2

a2-1

+…+

2-an

an-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2n

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）直接由数列递推式求得数列前三项，在数列递推式中，取n=n-1得另一递推式，作差后另一构造法构造等比数列{a_n-2}，然后由等比数列的通项公式得答案；
（2）把（1）中求得的数列的通项公式代入

2-a1

a1-1

+

2-a2

a2-1

+…+

2-an

an-1

，化简后另一数学归纳法证明数列不等式

2-a1

a1-1

+

2-a2

a2-1

+…+

2-an

an-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2n

．

解答： （1）解：由S_n+a_n=2n+1  ①，得
S₁+a₁=2a₁=3，a1=

3

2

．
S₂+a₂=a₁+2a₂=5，a2=

7

4

．
S₃+a₃=a₁+a₂+2a₃=7，a3=

15

8

．
S_n-1+a_n-1=2（n-1）+1（n≥2）②，
①-②得a_n+a_n-a_n-1=2，即an=

1

2

an-1+1(n≥2)．
∴an-2=

1

2

(an-1-2)（n≥2）．
∴数列{a_n-2}是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
∴an=(-

1

2

)×(-

1

2

)n-1+2=2-

1

2n

；
（2）证明：由an=1-

1

2n

，得

2-an

an-1

=

1

2n-1

．
因此，不等式

2-a1

a1-1

+

2-a2

a2-1

+…+

2-an

an-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2n

等价于

1

2-1

+

1

22-1

+…

1

2n-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2n

．
下面利用数学归纳法证明：
当n=1时，左边=1，右边=

5

3

-

7

12

=

13

12

．
左边＜右边，不等式成立；
假设当n=k时不等式成立，即

1

2-1

+

1

22-1

+…+

1

2k-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2k

．
那么，当n=k+1时，
左边=

1

2-1

+

1

22-1

+…+

1

2k-1

+

1

2k+1-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2k

+

1

2k+1-1

=

5

3

-

7

6

•

2

2k+1

+

1

2k+1-1

=

5

3

-

7

6

•

1

2k+1

+

1

2k+1-1

-

7

6

•

1

2k+1

=

5

3

-

7

6

•

1

2k+1

+

6•2k+1-7(2k+1-1)

6(2k+1-1)•2k+1

=

5

3

-

7

6

•

1

2k+1

+

7-2k+1

6(2k+1-1)•2k+1

．
∵k≥2．
∴7-2^k+1＜0．
故

7-2k+1

6(2k+1-1)•2k+1

＜0．
∴

1

2-1

+

1

22-1

+…+

1

2k-1

+

1

2k+1-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2k+1

．
∴当n=k+1时不等式成立．
综上可知，对于任意的n∈N^*，都有

2-a1

a1-1

+

2-a2

a2-1

+…+

2-an

an-1

＜

5

3

-

7

6

•

1

2n

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了利用构造法求数列的通项公式，训练了利用数学归纳法证明数列不等式，是压轴题．