题目内容
若关于x的不等式|x-2|+|x-3|＜t，（t∈T）的解集非空
（Ⅰ）求集合T；
（Ⅱ）若a，b∈T，求证：ab+1＞a+b．
（Ⅰ）求集合T；
（Ⅱ）若a，b∈T，求证：ab+1＞a+b．
考点：绝对值不等式的解法
专题：不等式的解法及应用
分析：（Ⅰ）通过对x取值范围的分类讨论，去掉不等式中的绝对值符号，可求得f（x）=|x-2|+|x-3|≥1恒成立，依题意，可求得集合T；
（Ⅱ）a，b∈T，T∈（1，+∞），作差ab+1-（a+b）后化积，略加分析即可证得结论成立．
（Ⅱ）a，b∈T，T∈（1，+∞），作差ab+1-（a+b）后化积，略加分析即可证得结论成立．
解答：
解：（I）设f（x）=|x-2|+|x-3|，
当x＜2时，f（x）=|x-2|+|x-3|=-2x+5，是减函数，f（x）min=1；
当2≤x＜3时，f（x）=|x-2|+|x-3|=1，是常数函数，f（x）=1；
当3≤x时，f（x）=|x-2|+|x-3|=2x-5，是增函数，f（x）min=1；
所以f（x）≥1恒成立；
又因为关于x的不等式|x-2|+|x-3|＜t，（t∈T）的解集非空，
所以T∈（1，+∞）；
（II）证明：因为a，b∈T，T∈（1，+∞），（1-a）＜0，（1-b）＜0，
所以ab+1-（a+b）=（1-a）（1-b）＞0，
所以ab+1＞a+b．
当x＜2时，f（x）=|x-2|+|x-3|=-2x+5，是减函数，f（x）min=1；
当2≤x＜3时，f（x）=|x-2|+|x-3|=1，是常数函数，f（x）=1；
当3≤x时，f（x）=|x-2|+|x-3|=2x-5，是增函数，f（x）min=1；
所以f（x）≥1恒成立；
又因为关于x的不等式|x-2|+|x-3|＜t，（t∈T）的解集非空，
所以T∈（1，+∞）；
（II）证明：因为a，b∈T，T∈（1，+∞），（1-a）＜0，（1-b）＜0，
所以ab+1-（a+b）=（1-a）（1-b）＞0，
所以ab+1＞a+b．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，突出考查对x取值范围的分类讨论，去掉不等式中的绝对值符号，考查作差法证明不等式，属于中档题．
练习册系列答案
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