Question

已知函数f（x）=aln（2x+1）+bx+1．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-3=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若b=

1

2

，试讨论函数y=f（x）的单调性．
（Ⅲ）若对定义域内的任意x，都有f(x)≥(b-

1

2

)x+

3

4

成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（I）先求函数的定义域，然后求出函数的导函数，根据导数的几何意义和极值的定义建立方程组

f′(1)=0 f′(0)=-2

，解之即可；
（II）讨论a的正负，然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间；
（Ⅲ）由f(x)≥(b-

1

2

)x+

3

4

，可得aln(2x+1)+

1

2

x+

1

4

≥0，令g(x)=aln(2x+1)+

1

2

x+

1

4

，则g′(x)=

2x+4a+1

4x+2

=f'（x）（b=

1

2

时），从而可得g（x）与f（x）（b=

1

2

时）具有相同的单调性，分类讨论，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为(-

1

2

，+∞)，f′(x)=

2bx+2a+b

2x+1

，
由题意

f′(1)=0 f′(0)=-2

，解得

a=- 3 2 b=1

∴a=-

3

2

．----------------（4分）
（Ⅱ）若b=

1

2

，则f(x)=aln(2x+1)+

1

2

x+1，f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

．---------------（5分）
（1）当a≥0时，由函数定义域可知，4x+2＞0，f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

＞0，
∴在x∈(-

1

2

，+∞)内，函数f（x）单调递增；---------------（7分）
（2）当a＜0时，令f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

＞0，∴x∈(-2a-

1

2

，+∞)，
∴函数f（x）单调递增；
令f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

＜0⇒x∈(-

1

2

，-2a-

1

2

)，
∴函数f（x）单调递减
综上：当a≥0时，函数f（x）在区间(-

1

2

，+∞)为增函数；当a＜0时，函数f（x）在区间(-2a-

1

2

，+∞)为增函数；
在区间(-

1

2

，-2a-

1

2

)为减函数．-------------（10分）
（Ⅲ）由f(x)≥(b-

1

2

)x+

3

4

，可得aln(2x+1)+

1

2

x+

1

4

≥0
令g(x)=aln(2x+1)+

1

2

x+

1

4

，则g′(x)=

2x+4a+1

4x+2

=f'（x）（b=

1

2

时）
∴g（x）与f（x）（b=

1

2

时）具有相同的单调性，
由（Ⅱ）知，当a＞0时，函数g（x）在区间(-

1

2

，+∞)为增函数；其值域为R，不符合题意
当a=0时，函数g（x）=

1

2

x+

1

4

，
∵x＞-

1

2

，∴g（x）＞0恒成立，符合题意
当a＜0时，函数g（x）在区间(-

1

2

，-2a-

1

2

)为减函数；在区间(-2a-

1

2

，+∞)为增函数
∴g（x）的最小值为g(-2a-

1

2

)=aln（-4a-1+1）+（-a-

1

4

）+

1

4

=aln（-4a）-a
∴aln（-4a）-a≥0⇒-

e

4

≤a＜0
综上可知：-

e

4

≤a≤0．-------------（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及研究函数单调区间等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于中档题．