Question

已知函数f（x）=e^x-x+m，g（x）=x³-3ax²+2bx，且函数g（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处的切线方程为y=-1，
（1）求a，b的值；
（2）若对于任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，利用函数g（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处的切线方程为y=-1，可得

3-6a+2b=0 1-3a+2b=-1

，即可求a，b的值；
（2）对于任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）＜g（x₂）成立，即是f（x）_max＜g（x）_max，从而可求m的取值范围．

解答： 解：（1）由函数g（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处的切线方程为y=-1，
知g'（1）=0，g（1）=-1．
又g'（x）=3x²-6ax+2b．
所以

3-6a+2b=0 1-3a+2b=-1

，解得

a= 1 3 b=- 1 2

，
所以g（x）=x³-x²-x
（2）对于任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）＜g（x₂）成立，
即是f（x）_max＜g（x）_max
又f'（x）=e^x-1在x∈[0，2]恒有f'（x）＞0，
即f（x）在x∈[0，2]递增
所以f(x)max=f(2)=e2-2+m．
g'（x）=3x²-2x+1=（3x+1）（x-1），
令g'（x）=0，得x=-

1

3

（舍）或x=1，
故g（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，
又g（0）=0，g（2）=2，所以g（x）_max=g（2）=2
于是 e²-2+m＜2
所以m＜4-e²

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．