Question

已知函数f（x）=

3

cos（2x-

2π

3

）+2sin²（x-

π

12

），钝角△ABC（角A、B、C所对的边长分别为 a、b、c）的角B满足f（B）=1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若b=3，c=3

3

，求B、a．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理

专题：常规题型,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：第（1）问利用三角恒等变换化成y=Asin（ωx+φ）的形式，然后再研究函数的单调性；第（2）问根据条件f（B）=1求出角B，然后利用余弦定理解出a．

解答： 解：（1）f（x）=

3

cos（2x-

2π

3

）+2sin²（x-

π

12

）
=-

3 cos2x

2

+

3

2

sin2x+1-cos(2x-

π

6

)
=2sin（2x-

π

3

）+1
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z）
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）
（2）由f（B）=1得sin（2B-

π

3

）=0，解得2B-

π

3

=kπ（k∈Z）
又因为b＜c，所以B=

π

6

，
由余定理得：32=(3

3

)2+a2-6

3

acos

π

6

解得a=3或a=6
又因为△ABC是钝角三角形，所以a=3．

点评：本题考查了求三角函数的单调区间，关键是通过三角恒等变换化成标准形式；第（2）问考查了利用正、余弦定理解三角形．