Question

已知点A、B是椭圆C：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）与直线x-3y+2=0的交点．点M是AB的中点，且点M的横坐标为-

1

2

．若椭圆C的焦距为8椭圆C的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意得到a²=3b²，又由c=4，从而求出a²=24，b²=8，从而求出椭圆的方程．

解答： 解：∵点M（-

1

2

，

1

2

），由题意得：点A，B满足：

xA2 a2 + yA2 b2 =1 xB2 a2 + yB2 b2 =1

，
∴

1

a2

•2x_中+

1

b2

•K_AB•2y_中=0，
∴-

1

a2

+

1

b2

•

1

3

•1=0，
∴a²=3b²，
又∵c=4∴a²=24，b²=8，
经检验，a²=24，b²=8符合题意，
∴椭圆C的方程为

x2

24

+

y2

8

=1．

点评：本题考查了椭圆的性质，求出a²=3b²，是解题的关键，本题属于中档题．