设k≠0.若函数y1=(x-k)2+2k和y2=-(x+k)2-2k的图象与y轴依次交于A.B两点.函数y1.y2的图象的顶点分别为C.D．(1)当k=1时.请在同一直角坐标系中.分别画出函数y1.y2的草图.并根据图形.写出y1.y2两图象的位置关系,(2)当-2＜k＜0时.求线段AB长的取值范围,(3)A.B.C.D四点构成的图形是否为平行四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

设k≠0，若函数y₁=（x-k）²+2k和y₂=-（x+k）²-2k的图象与y轴依次交于A，B两点，函数y₁，y₂的图象的顶点分别为C，D．
（1）当k=1时，请在同一直角坐标系中，分别画出函数y₁，y₂的草图，并根据图形，写出y₁，y₂两图象的位置关系；
（2）当-2＜k＜0时，求线段AB长的取值范围；
（3）A，B，C，D四点构成的图形是否为平行四边形？若是平行四边形，则是否构成菱形或矩形？若能构成菱形或矩形，请直接写出k的值．

分析（1）取k=1可得两函数解析式，并作出草图；
（2）由函数解析式求出A，B，C，D的坐标，进一步求得AB，利用二次函数求得范围；
（3）分别求出AC、BD、AD、BC所在直线的斜率，由斜率相等可得A，B，C，D四点构成的四边形ADBC是平行四边形，再由对角线斜率分析可知四边形ADBC不能构成菱形．

解答解：（1）如图，${y}_{1}=（x-1）^{2}+2，{y}_{2}=-（x+1）^{2}-2$；
（2）在函数y₁=（x-k）²+2k和y₂=-（x+k）²-2k中，
分别取x=0，得${y}_{1}={k}^{2}+2k，{y}_{2}=-{k}^{2}-2k$，
∴A（0，k²+2k），B（0，-k²-2k），
∴|AB|=|k²+2k+k²+2k|=2|k²+2k|，
∵-2＜k＜0，∴k²+2k∈[-1，0），
则|AB|=2|k²+2k|∈（0，2]；
（3）由题意可得：A（0，k²+2k），B（0，-k²-2k），
C（k，2k），D（-k，-2k），
则${k}_{AC}=\frac{{k}^{2}}{-k}=-k，{k}_{BD}=\frac{-{k}^{2}}{k}=-k$，${k}_{AD}=\frac{{k}^{2}+4k}{k}=k+4，{k}_{BC}=\frac{-{k}^{2}-4k}{-k}=k+4$，
∴A，B，C，D四点构成的四边形ADBC是平行四边形，
∵${k}_{CD}=\frac{4k}{2k}=2$，且AB的斜率不存在，
∴不能构成菱形．