Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 构造并可判断数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而求S_n，再求a_n．

解答 解：∵S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，
∴（$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$）=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，
而$\sqrt{{S}_{1}}$=1，
故数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，
故$\sqrt{{S}_{n}}$=n，
故S_n=n²，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$=n+n-1=2n-1，
当n=1时也满足a_n=2n-1；
故a_n=2n-1．

点评 本题考查了数列的递推式的应用及构造法的应用，属于中档题．