Question

7．设函数f（x）=x²+x+1．
（I）解不等式：|f（x+1）-f（x）|-|f（x）-f（x-1）|≤1；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{3}$≤$\frac{f（-x）}{f（x）}$≤3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得|x+1|-|x|≤$\frac{1}{2}$，去绝对值，解得即可，
（Ⅱ）由$\frac{f（-x）}{f（x）}$=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$=1-$\frac{2x}{{x}^{2}+x+1}$，构造g（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+x+1}$，分类讨论，利用基本不等式即可求出g（x）的范围，问题得以证明

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x²+x+1，
∴|f（x+1）-f（x）|-|f（x）-f（x-1）|=|2x+2|-|2x|，
∴|2x+2|-|2x|≤1，
∴|x+1|-|x|≤$\frac{1}{2}$，
当x≤-1时，即-x-1+x≤$\frac{1}{2}$，即-1≤$\frac{1}{2}$恒成立，
当x≥0时，即x+1-x≤$\frac{1}{2}$，即1≤$\frac{1}{2}$不成立，
当-1＜x＜0，即x+1+x≤$\frac{1}{2}$，解得-1＜x≤-$\frac{1}{4}$，
综上所述不等式的解集为（-∞，-$\frac{1}{4}$]
（2）∵f（x）=x²+x+1，
∴$\frac{f（-x）}{f（x）}$=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$=1-$\frac{2x}{{x}^{2}+x+1}$，
设g（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+x+1}$，
当x＞0时，g（x）=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}$≤$\frac{2}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}+1}$=$\frac{2}{3}$，当且仅当x=1时取等号，
当x＜0时，g（x）=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}$=$\frac{-2}{-x+（-\frac{1}{x}）-1}$≥$\frac{-2}{2\sqrt{（-x）•\frac{1}{-x}}-1}$=-2，当且仅当x=-1时取等号，
当x=0时，g（x）=0，
∴-2≤g（x）≤$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$≤1-g（x）≤3，
∴$\frac{1}{3}$≤$\frac{f（-x）}{f（x）}$≤3．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查了不等式的证明和分类讨论的思想，属于中档题